یادآوری عددهای اوّل

در سال‌های گذشته با شمارندهای یک عدد طبیعی آشنا شدیم. فرا گرفتیم که منظور از شمارنده‌های یک عدد طبیعی این است که عدد طبیعی مورد نظر را می‌توان چند تا چند تا شمرد. برای مثال عدد 12 را در نظر بگیرید؛ با شمارش یک واحد، یک واحد می‌توان عدد 12 را شمرد. یعنی در عددهای طبیعی اگر یکی یکی بشماریم عدد 12 نیز شمرده می‌شود. به همین صورت اگر دو تا دو تا بشماریم عدد 12 شمرده می‌شود. همچنین با شمارش سه تا سه تا و چهار تا چهار تا نیز عدد 12 شمرده می‌شود. امّا اگر در عددهای طبیعی 5 تا 5 تا بشماریم ( ... ، 25 ، 20 ، 15 ، 10 ، 5) عدد 12شمارش نمی‌شود. پس عدد 5 جزو شمارنده‌های 12 نیست. به همین صورت اگر 6 تا 6 تا و 12 تا 12 بشماریم عدد 12 شمرده می‌شود. ولی با بقیّه‌ی عددهای طبیعی نمی‌توان 12 را شمرد. پس شمارنده‌های 12 عبارتند از : 12 ، 6 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1  و عدد 12 شش شمارنده دارد.
در عددهای طبیعی برخی از عددها وجود دارند که فقط دارای دو شمارنده هستند؛ یکی عدد یک و دیگری خود عدد. این دسته از عددها را عددهای اوّل می‌نامیم. عددهای اوّل کوچک‌تر از 20 عبارتند از :
19 ، 17 ، 13 ، 11 ، 7 ، 5 ، 3 ، 2
 
با توجّه به دو تعریف بالا عدد یک اوّل نیست زیرا دارای دو شمارنده‌ی طبیعی نیست. همچنین عدد یک مرکّب نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت. پس عدد یک نه اوّل است و نه مرکّب.
 بنابراین  
نکته‌ها:
1-عددهای اوّل همه فرد هستند بجز عدد 2 که تنها عدد زوج اوّل است.
  
مثال: مجموع دو عدد اوّل برابر 91 شده است، این دو عدد را بیابید.

پاسخ:
به جمع‌های زیر توجّه کنید: با دقّت در جمع‌های بالا متوجّه خواهیم شد که حاصل جمع دو عدد فرد همیشه عددی زوج می‌شود ولی حاصل جمع یک عدد زوج و یک عدد فرد همیشه عددی فرد است.
حال به دلیل این‌که در سوال اشاره شده که حاصل جمع دو عدد اوّل 91 (عددی فرد) است، پس این دو عدد باید یکی زوج و دیگری فرد باشد.
تنها عدد زوج اوّل عدد 2 است، پس یکی از عددها عدد 2 است و دیگری پس دو عدد اوّل مورد نظر 2 و 89 هستند.
 

2-تمامی عددهای طبیعی را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب شمارنده‌های اوّل نوشت. بدین ترتیب عددهای اوّل می‌توانند به عنوان بلوک‌های ساختمانی برای عددهای طبیعی به شمار روند. مثال: عدد 120 را با استفاده از نمودار درختی  به شمارنده‌های اوّل تجزیه کنید.  

عددهای نسبت به اوّل

در سال گذشته آموختیم که برای یافتن بزرگ‌ترین شمارنده‌ی مشترک دو عدد(ب.م.م) ابتدا باید شمارنده‌های دو عدد را بنویسیم وسپس از بین شمارنده‌های مشترک، بزرگ‌ترین را مشخّص کنیم.
مثال: در روش دیگر برای به دست آوردن ب.م.م ، نخست هر دو عدد را به شمارنده‌های اوّل تجزیه می‌کنیم و سپس حاصل‌ضرب شمارنده‌های مشترک را به عنوان ب.م.م در نظر می‌گیریم. حال ب.م.م هر جفت از عددهای زیر را می‌یابیم. به هر جفت عدد مثل 4 ، 7 یا  9 ، 8 که ب.م.م آن‌ها برابر یک می‌شود، می‌گوییم دو عدد نسبت به هم اوّل هستند.

نکته‌ها:
1-هر دو عدد اوّل نسبت به هم اوّل هستند. 2-دو عدد مرکّب نیز می‌توانند نسبت به هم اوّل با شند. 3-هر دو عدد طبیعی پیاپی نسبت به هم اوّل هستند. 4- اگر دو عدد طبیعی داشته باشیم که دارای شمارنده‌های اوّل مشترک نباشند، نسبت به هم اوّل هستند.

مشاهده مثال‌های بیش‌تر و تمرین‌ها فقط برای اعضای سایت امکان‌پذیر است.